六年級整數的裂項與拆分的奧數題

題目：

若干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個同樣的.小球放在這些盒子裏然後外出，小明從每支盒子裏取出一個小球，然後把這些小球再放到小球數最少的盒子裏去.再把盒子重排了一下.小聰回來，仔細查看，沒有發現有人動過小球和盒子.問：一共有多少隻盒子?

分析：設原來小球數最少的盒子裏裝有a只小球，現在增加了b只，由於小聰沒有發現有人動過小球和盒子，這説明現在又有了一隻裝有a個小球的盒子，而這隻盒子裏原來裝有(a+1)個小球.

同樣，現在另有一個盒子裝有(a+1)個小球，這隻盒子裏原來裝有(a+2)個小球.

類推，原來還有一隻盒子裝有(a+3)個小球，(a+4)個小球等等，故原來那些盒子中裝有的小球數是一些連續整數.

所以將42分拆成若干個連續整數的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個加數，據此解答.

解：設原來小球數最少的盒子裏裝有a只小球，現在增加了b只，由於小聰沒有發現有人動過小球和盒子，

這説明現在又有了一隻裝有a個小球的盒子，而這隻盒子裏原來裝有(a+1)個小球.

同樣，現在另有一個盒子裝有(a+1)個小球，這隻盒子裏原來裝有(a+2)個小球.

類推，原來還有一隻盒子裝有(a+3)個小球，(a+4)個小球等等，

故原來那些盒子中裝有的小球數是一些連續整數.

將42分拆成若干個連續整數的和，

因為42=6×7，故可以看成7個6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6個6，從而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7個加數;

又因為42=14×3，故可將42：13+14+15，一共有3個加數;

又因為42=21×2，故可將42=9+10+11+12，一共有4個加數.

所以原問題有三個解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子.

答：一共有7只、4只或3只盒子.

點評：解答本題的關鍵是將問題歸結為把42分拆成若干個連續整數的和.