數論奧數專項分析

數論奧數專項分析1

1.在一位數的自然數中，既是奇數又是合數的是幾?既不是合數又不是質數的是幾?既是偶數又是質數的是幾?

2.在1~100裏最小的質數和最大的質數的和是多少?

3.兩個自然數的和與差的積是41，那麼這兩個數的積的多少?

4.把232323的全部質因數的和表示為AB，那麼A×B×AB=?

5.三個連續自然數的積是1716，這三個自然數是多少?

6.如果自然數有四個不同的質因數，那麼這樣的自然數中最小的是多少?

7.某一個數，它與自己相加、相減、相乘、相除得到的和、差、積、商之和為256，這個數是多少?

8.主人對客人説：“院子裏有三個小孩，他們的年齡之積等於72，年齡之和恰好是我家的樓號，你能求出這些孩子的年齡嗎?主人家的樓號是多少?

9.今有10個質數：17，23，31，41，53，67，79，83，101，103，如果將它們分成兩組，每組五個數，且每組的五個數之和相等，那麼，把含有101的這組數從小到大排列，第二個數應是多少?

10.四個同樣的瓶子內裝油，每瓶和其他各瓶稱一次，重量為：8，9，10，11，12，13已知四隻空瓶的重量之和以及油的`重量之和均為質數，最重的兩瓶油內有多少公斤油?

數論奧數專項分析2

5.能否將1至25這25個自然數分成若干組，使得每一組中的最大數都等於組內其餘各數的和?

6.在象棋比賽中，勝者得1分，敗者扣1分，若為平局，則雙方各得0分。今有若干個學生進行比賽，每兩人都賽一局。現知，其中有一位學生共得7分，另一位學生共得20分，試説明，在比賽過程中至少有過一次平局。

7.在黑板上寫上1，2，…，909，只要黑板上還有兩個或兩個以上的數就擦去其中的任意兩個數a，b，並寫上a-b(其中a≥b)。問：最後黑板上剩下的是奇數還是偶數?

8.設a1，a2，…，a64是自然數1，2，…，64的任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，…，b32=a63-a64;

c1=b1-b2，c2=b3-b4，…，c16=b31-b32;

d1=c1-c2，d2=c3-c4，…，d8=c15-c16;

……

這樣一直做下去，最後得到的一個整數是奇數還是偶數?

答案：

5.不能。提示：仿例3。

6.證：設得7分的學生勝了x1局，敗了y1局，得20分的學生勝了x2局，敗了y2局。由得分情況知：

x1-y1=7，x2-y2=20。

如果比賽過程中無平局出現，那麼由每人比賽的場次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶數。另一方面，由x1-y1=7知x1+y2為奇數，由x2-y2=20知x2+y2為偶數，推知x1+y1+x2+y2為奇數。這便出現矛盾，所以比賽過程中至少有一次平局。

7.奇數。解：黑板上所有數的和S=1+2+…+909是一個奇數，每操作一次，總和S減少了a+b-(a-b)=2b，這是一個偶數，説明總和S的奇偶性不變。由於開始時S是奇數，因此終止時S仍是一個奇數。

8.偶數。

解：我們知道，對於整數a與b，a+b與a-b的奇偶性相同，由此可知，上述計算的第二步中，32個數

a1-a2，a3-a4，…，a63-a64，

分別與下列32個數

a1+a2，a3+a4，…，a63+a64，

有相同的奇偶性，這就是説，在只考慮奇偶性時，可以用“和”代替“差”，這樣可以把原來的計算過程改為

第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64;

第一步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64;

第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64;

……

最後一步所得到的數是a1+a2+…+a63+a64。由於a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一個排列，因此它們的總和為1+2+…+64是一個偶數，故最後一個整數是偶數

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